CK序数:
第一个不可计算序数是ω_1^ck，这是所有递归序数的集合，而ck是邱奇克林的缩写，而第二个不可计算序数为ω_2^ck，这是第一个不可计算序数ω_1^ck放入任何递归运算的集合总和，这里的运算可以有很多，如后继，加法，乘法，乘方，中函数，序数坍缩函数.…...，而我们还有第三个不可计算序数ω_3^ck，第四个不可计算序数ω_4^ck，第五个不可计算序数ω_5^ck.....以此类推，不可计算序数可以任意的多，不过任意ω_a^ck也都小于阿列夫一，而我们还有着对不可计算序数的拓展，也就是Фck，假如说有一个不可计算序数ω_1^ck，用Фck可以表示为Ф(1)^ck，ω_2^ck可以表示为Ф(2)^ck，ω_3^ck可以表示为Ф(3)^ck.....以此类推，运算规则都一样，而Ф(1)^ck、Ф(2)^ck、Ф(3)^ck.....用二元ck函数可以表示为Ф(0，1)^ck，Ф(0，2)^ck，Ф(0，3)^ck....以此类推，

阿列夫数
从阿列夫数开始，我们就进入了无穷大的概念。
通过不断地构造一个集合，或者说一个集合拥有无穷多个元素，比如{0,1,2……}，那么它的势（即它元素的个数），就是阿列夫零，阿列夫零可以被理解为最小的无穷基数。
既然有阿列夫零，那肯定还会有阿列夫一、阿列夫二……的确，阿列夫一就是大于阿列夫零的下一个最小的无穷基数，阿列夫二就是大于阿列夫一的下一个最小的无穷基数……以此类推。
不断地向下迭代，阿列夫阿列夫阿列夫……一直到阿列夫但是已经到达了无穷大的概念，单纯的数学运算已经不能将这些无穷大增强了。
就好像ω+1、ω+ω……这些运算是无法到达阿列夫一的。
因为你会发现，即使在无穷大的基础上，增加它的序数，是无法使得它的基数变大的，这两个数都是同样的无穷大，它们的元素依然可以一一对应。
所以，需要一些公理或者一些定理、假设来证明更大的阿列夫一。
连续统假设则认为2的阿列夫零次方等于阿列夫一，因为2的阿列夫零次方是对阿列夫零取幂集，一个集合的幂集的势，一般都比这个集合本身的元素个数多（空集除外）。（正数、负数、有理数、分数、偶数、奇数等集合的势是阿列夫零，实数集的势是阿列夫一，因为实数集当中包含了无理数，无理数是有理数无法通过加减乘除一个不是无理数的数得到不动点。)

世界基数
如果一个k满足Vκ是ZFC的一个模型，那么κ是一个世界基数。

不可达基数:
这个基数不与自然数集等势，>N0，其序数为α，设定β是序数，称β∪{β}为β的后继.可以证明，β是序数，则β的后继也是序数，记为β+1.而序数α，不可以找到序数β，使α为β的后继，即不存在∃β(α=β+1)。
不可达基数是强弱不可达基数的统称。
如果κ是不可数的、正则的极限基数，则称κ是弱不可达基数；如果κ是不可数的、正则的强极限基数，则称κ是强不可达基数。
这两类大基数合称不可达基数，
不可达基数也可称不可到达基数，大基数是集合论用语，而不可达基数就是大基数领域中最小的大基数，不可达基数也可以理解为是特殊的阿列夫不动点，不可达基数也是正则性基数，假设有一个n是不可数的且正则的极限基数，则称是弱不可达基数，如果是不可数的且正则的强极限基数，则称n是强不可达基数，在GCH，连续统假设之下，每个弱不达基数也是强不可达基数，每个强不可达基数也都是弱不可达基数。
之所以用“不可达”称呼这类大基数，是因为不能用通常的集合论运算来“到达”它们，不可达基数拥有正则性，而不光是不可达基数，前面的很多基数有具有正则性质，就比如说阿列夫零，阿列夫零的势与所有自然数集合的势对等，而阿列夫零是不可以通过有限基数相加、相乘、乘方……等等到达的，而像阿列夫阿列夫零、阿列夫阿列夫阿列夫零……等等基数也具有正则性质，而怎么证明正则性质呢？
若n是强不可达基数，又集合X的基数|X|<κ，则幂集P(X)的基数也小于κ，又若|S|<κ，且对每个X∈S，|X|<κ，则|∪S|<κ，这就是说，由小于n的基数，无论进行何种运算，总达不到n，取幂集也无法到达n。
强不可达基数是一种正则基数，简称不可达基数，既是正则的又是强极限的无穷基数，即如果正则基数κ满足k>n，且对任何λ<k有2<k，κ就是一个强不可达基数。
在ZFC系统中不能证明不可达基数的存在性，称这种基数为不可达的原因是它不可能从比它小的基数出发，不能使用通常的集合论运算得到，正如它的名称一样，“不可达”，但不可达基数也只是大基数领域的“守门人”，在后面的各种大基数中，不可达基数可以说是相当的渺小。

马洛基数:
又称马赫罗基数，对于所有K，正则基数 β 的初始段（即 β 以下的所有基数）中都包含一个K基数。
这里的K在这个基数以上所有的正则无限基数的并集中，删去所有小于K的基数后，剩余的基数集合是一个K的闭集。
也就是一个马洛基数κ之下的不可达基数组成驻集，小于κ的所有正则基数集合是κ的驻子集，则κ为马洛基数，说明白点就是任意不可达基数k，其他不可达基数在这个k前面形成无界闭集取驻集族为{a {0,1} 都存在一个κ个元素的子集使f在这个集上的值相同。
也是，最小不可达基数κ，需要满足cfκ=κ，a<κ→2^a<κ的基数，一个2-不可达基数κ是第κ个不可达基数，一个超不可达基数就是κ-不可达基数，每一个马洛基数κ之下的不可达基数组成驻集，小于κ的所有正则基数集合是κ的驻子集，则κ为马洛基数，说明白点就是任意不可达基数k，其他不可达基数在这个k前面形成无界闭集，则此k为马洛基数，第马洛基数个不可达基数一定是马洛基数。
然后是2-马洛基数，下面的马洛基数形成驻集，超马洛基数，κ是κ-马洛基数。

不可数基数(比不可达基数小)
不可数基数是一种无穷基数。不可数集的基数统称为不可数基数。一个无穷集合，如果不与自然数集等势，它就具有不可数基数。例如实数集R的基数、R的幂集P(R)的基数都是不可数基数。不可数基数有无穷多个等级。

不可描述基数
基数K称为∏n不可描述基数如果对于每个∏m命题(φ，并且设置A⊆∨κ与(Vκ+n,∈，A)╞φ存在一个α<κ与(V α+n，∈,A ∩Vα)╞φ。这里看一下具有m-1个量词交替的公式，最外层的量词是通用的。∏n不可描述基数以类似的方式定义。这个想法是，即使具有额外的一元谓词符号（对于A）的优势，也无法通过具有m-1次量词交替的n+1 阶逻辑的任何公式将κ与较小的基数区分开来（从下面看）。
这意味着它很大，因为这意味着必须有许多具有相似属性的较小基数。如果基数κ是∏nm，则称它是完全不可描述的——对于所有正整数m和n都难以描述。
也是，这里不可描述基数是指一类大基数，指用∏nm或者是∑nm公式的概念和模型论工具所定义的基数，若对任何仅含一个二阶自由变元X的∏nm公式或∑nm公式Φ(X)，当有α层结构〈Vα，∈↾Vα，R〉满足Φ(R)时，即〈Vα，∈↾Vα，R〉⊨Φ(R)成立时，存在β<α，使β层子结构也满足Φ(R)，即〈Vβ，∈↾Vβ，R∩Vβ〉⊨Φ(R∩Vβ)，则称基数α为∏mn或∑mn不可描述基数，注意到反射原理是指全域中的任何一阶公式可以用某一层Vβ中的相对化公式来代替，此处的不可描述性，就是指，在α层结构中真的公式，必可在α之前的某β层中为真，公式加以适当的限制，这种不可描述基数必然是很大的一类大基数，κ是强不可达基数，当且仅当κ是∏10不可描述基数，又当且仅当κ是∑11不可描述基数，κ是弱紧基数，当且仅当κ是∏11不可描述基数，若κ是可测基数，则κ是∏21不可描述基数。

可迭代基数
将基数κ定义为可迭代的，前提是κ的每个子集都包含在弱κ-模型M中，其中在κ上存在一个M-超滤器，允许通过任意长度的超幂进行有根据的迭代。
Gitman给出了一个更好的概念，其中一个基数κ被定义为α-iterable 如果仅需要长度为α的超幂迭代才能有充分根据

拉姆齐基数
让[ κ ]<ω表示κ的所有有限子集的集合。如果 对于每个函数， 基数 κ称为 Ramsey
f : [ κ ]<ω→{0,1}
存在基数为κ的集合A对于f是齐次的。也就是说，对于每个n，函数f在A的基数n的子集上是常数。如果A可以被选为κ的固定子集，则基数κ被称为不可言说的Ramsey。如果对于每个函数， 基数κ实际上被称为Ramsey
f : [ κ ]<ω→{0,1}
存在C，它是κ的一个闭无界子集，因此对于C中具有不可数共尾性的每个λ，都存在一个与 f 齐次的入的无界子集；稍微弱一点的是lamost Ramsey的概念，其中对于每个λ<κ，需要有序类型λ的f的同质集。
将基数κ定义为可迭代的，前提是κ的每个子集都包含在弱κ-模型M中，其中在κ上存在一个M-超滤器，允许通过任意长度的超幂进行有根据的迭代。
Gitman给出了一个更好的概念，其中一个基数κ被定义为α-iterable 如果仅需要长度为α的超幂迭代才能有充分根据。
也就是，拉姆齐基数定理确立了ω具有 R基数推广到不可数情况的特定性质，令让[ κ ] <ω表示κ的所有有限子集的集合，一个不可数的基数 κ 称为 R 如果，对于每个函数f : [ κ ] <ω → {0, 1}，有一个基数κ的集合A对于f是齐次的，也就是说，对于每个n，函数f在来自A的基数n的子集上是常数，如果A可以选择为 κ 的平稳子集，则基数κ被称为不可称的R，如果对于每个函数， 基数κ实际上称为Rf : [ κ ] <ω → {0, 1}，有C是κ的一个封闭且无界的子集，因此对于 C 中的每个λ具有不可数的共尾性，有一个λ的无界子集对于f是同质的；稍微弱一点的是几乎 R的概念，其中对于每个λ < κ ， f的齐次集都需要阶类型λ，这些 R基数中的任何一个的存在都足以证明0 #的存在，或者实际上每个秩小于κ的集合都有一个尖，每个可测基数都是R大基数，每个 R大基数都是R大基数，介于 R和可测性之间的强度中间属性是κ上存在κ完全正态非主理想 I使得对于每个A ∉ I和对于每个函数，f : [ κ ] <ω → {0, 1}，有一个集合B ⊂ A不在I中，对于f是齐次的，R基数的存在意味着0 #的存在，这反过来又意味着Kurt的可构公理的错误。

强拉姆齐基数:
一个为κ的强拉姆齐基数，而且仅当对于每一个A⊆κ位于一个存在κ上的弱自可的κ-模型M，κ-模型M可数完备，〈M，U〉满足κ-完备，它必然是正确的，因为M在长度小于κ的序列下是封闭的。
强拉姆齐基数的力迫相关性质与之前的拉姆齐基数相同，强拉姆齐基数的一致性强于拉姆齐基数。

弱紧致基数(位于马洛基数后)
k是弱紧致基数是指不可数且满足k → (k )。
所谓k是弱紧致基数，是指在不可数且Lκ，κ-句的集合中至多只使用了k个非逻辑符号的情况下，如果k-能够满足则能够满足。(弱紧致性)记载了两个弱紧致基数的定义。
前者是组合论的性质，后者是模型理论的性质。
首先需要确认这个定义是相同值，还是真的定义了相同的基数，但是以后再进行，这个弱紧致基数具有什么性质，是组合论和模型理论这两个理论。
也是大基数的一种，特殊的强不可达基数，一个基数κ被称为弱紧的，如果κ是强不可达的并且满足树性质或划分性质，从定义可见，弱紧性弱于可测性但强于不可达性，弱紧致基数是大基数理论中的一个核心概念，若语言Lκκ中任何只用到≤κ个非逻辑符号的语句集A有模型，当且仅当A的每个基数κ的子语句集有模型，则称基数κω是弱紧基数，弱紧基数是由匈牙学者爱尔特希和波兰学者塔尔斯基于1961年开始进行研究的，弱紧基数的等价性质很多，例如以无穷组合论中的一些性质来刻画，对于κω，κ是弱紧基数与以下各条等价：
1.κ具有分划性κ→(κ)22。
2.对任何基数γκ及nω，κ具有分划性质κ→(κ)nγ。
3.κ是强不可达基数且有数性质，κ是弱紧基数还与下列这些性质等价。
4.κ是超滤性质。
5.κ有弱超滤性质且κ是强不可达基数。
6.κ有Vκ可扩张性质。
7.κ有序性质。
8.κ是π11不可描述基数。
汉弗(Hanf，W.P.)于1964年与库仑(Kunen，K.)于1977年的工作结合起来，得到如下结论：
弱紧致基数κ是强马赫罗基数，并且κ以下的强马赫罗基数的集合是κ的驻子集.通常的一阶逻辑语言是Lωω，其紧致性定理是：
Lωω的任一语句集A有模型，当且仅当A的每个有穷子集有模型，亦即，语言Lωω是(ω，ω)紧的，上述弱紧基数的定义与此略有不同，如果完全依照ω的这一紧致性而加以推广，则可定义另一种弱紧基数，人们称之为弱紧2基数，基数κω称为弱紧2基数，是指语言Lκκ是(κ，κ)紧的，即对于Lκκ的任何基数≤κ的语句集A，A有模型，当且仅当A的每个基数κ的子语句集有模型，若将先前定义的弱紧基数称为弱紧1基数，则可以证明：
κ是弱紧1基数，当且仅当κ是弱紧2基数，且是强不可达基数，在广义连续统假设之下，弱紧1与弱紧2基数是相同的，弱紧2基数必为弱马赫罗基数

可测基数(在拉姆齐基数后)
为了定义这个概念，人们在基数κ上或更一般地在任何集合上引入了一个二值度量。对于基数κ，它可以描述为将其所有子集细分为大集和小集，使得κ本身很大，∅并且所有单例{ α }，α ∈ κ很小，小集的补集很大，并且反之亦然。小于的交集κ大集又大了。
事实证明，具有二值测度的不可数基数是无法从ZFC证明其存在的大基数。形式上，可测基数是不可数基数κ，使得在κ的幂集上存在κ加性、非平凡、0-1值测度。
（这里术语k-additive意味着，对于任何序列A α，α<λ的基数λ<κ，A α是成对相交的小于κ的序数集，A α的并集的度量等于个人A α的措施。)将满足集合a上的下一个的滤波器f称为超滤波器，对于所有的xa，X∈F或A X∈F ω上存在ω-完备非一元超滤波器，当k为不可数基数，k上存在K-完备非一元超滤波器时，k称为可数基数
定理( ZFC )
可测基数为不可达基数，可预测基数公理( Meas ) :“存在可预测基数.”可测基数与初等嵌入，当k是可测基数时，根据k上K-完备非一元超滤波器对v的超幂，构造了一类可拓m和一类函数j:V→M，并给出了 《φ(x1,...,xn)：L∈-理论式》
∀x1,...,xn∈V(φV(x1,...,xn)↔φM(j(x1),...,j(xn)))
对于所有α<K，j(α) =α且j(K ) > k 将j称为从v到m的初等嵌入，k是j的临界点
使用这个初等嵌入，可以显示出可预测基数k的很多性质在这种初等嵌入的存在下，k的可测性具有特征。
也是，可测基数是一个不可数的κ ，因此在κ的幂集上存在加性、非平凡、0-1值测度，而κ-additive意味着，对于任何序列Aα， α<λ 的基数λ<κ，Aα是<κ的序数的成对不相交集， Aα的并集的度量等于个体Aα的测量值。
κ是可测的意味着它是将宇宙V的非平凡基本嵌入到传递类M的临界，并使用了模型理论中的超强构造，由于V是一个适当的类别，因此需要解决一个在考虑超能力时通常不存在的技术问题，当且仅当 κ 是具有κ完全非主超滤器的不可数基数时， κ是可测量的基数，这也意味着超滤器中任何严格小于κ的集合的交集也在超滤器中。

强可展开基数(位于不可描述基数后)
基数κ是λ不可展开的，当且仅当对于ZFC的基数κ的每个传递模型M负幂集使得κ在M中并且M包含其所有长度小于κ的序列，有非-将M的非平凡基本元素j嵌入到传递模型中，其中j的临界点为κ，且j (κ) ≥ λ，一个基数是可展开的当且仅当它对于所有的序数λ 都是 λ-不可折叠的，一个基数κ 是强 λ 不可折叠的当且仅当对于每个ZFC负幂集的基数 κ 的传递模型 M使得 κ 在M中并且M包含其所有长度小于 κ 的序列，存在一个非-将M的平凡基本嵌入j到传递模型“N”中，其中 j 的临界点为κ，j (κ) ≥ λ，并且 V(λ) 是N的子集，不失一般性，我们也可以要求N包含其所有长度为 λ 的序列，一个基数是强可展开的当且仅当它对于所有 λ 都是强 λ-不可展开的。

强基数
如果λ是任何序数，κ是λ-strong意味着κ是基数并且存在从宇宙V到具有临界点κ和Vλ⊆M也就是说，M在初始段上与V一致。那么κ是强的意味着它对所有序数λ都是λ-强的。
巨大基数
V中存在一个初等嵌入j:V→M从V到一个具有临界点K的可传递内模型，那么这个它就是所谓的巨大基数，也就是j(K)M⊂M。
伍丁基数(在强基数后)
f:λ→λ存在一个基数κ<λ和{f(β)|β<κ}和基本嵌入j : V→M来自冯诺依曼宇宙V进入可传递的内部模型M和临界点κ和V_j(f）(κ)⊆M一个等效的定义是这样的：
λ是伍丁当且仅当λ对所有λ来说都是非常难以接近的
A⊆V_λ存在一个λ_A<λ这是<λ-A-strong的
超强基数
当且仅当存在基本嵌入 j ：V→M从V到具有临界点κ和V_j(κ)⊆M
类似地，基数κ是n-超强当且仅当存在基本嵌入j : V→M从V到具有临界点κ和V_jn(κ)⊆M 。
Akihiro Kanamori已经表明，对于每个n>0，n+1-超强基数的一致性强度超过n-huge 基数的一致性强度。