Maintenant on d\'emontre (iv).

Il suffit de donner $a\in k^\times$ tel que $(a,b)=-1$ pour $b=u,p,pu$. Par \ref{Thm1}, on a $(p,u)=(u,p)=(u,pu)=-1$, donc on peut prendre $b=p$ si $a=u$ et $b=u$ si $a=p,pu$.\par

The point cruciel est de montrer que $ux^2+vy^2\equiv 1\pmod p$ admet une solution (tr\`es difficile, laissons-le admis). Soit $(x_0,y_0)$ une solution de $ux^2+vy^2\equiv 1\pmod p$. Sans perte de g\'en\'eralit\'e on peut supposer que $p\nmid x_0$, alors
\begin{equation*}
\dfrac{1-py_0^2}{u}\equiv x^2_0\not\equiv 0\pmod p.
\end{equation*}
Cela implique que $\dfrac{1-py_0^2}{u}$ est un carr\'e dans $\mathbb{Z}_p^\times$, donc $ux^2+vy^2=1$ admet une solution dans $\mathbb{Q}_p$.

On montre d'abord que, pour tout $p\in\V$, $\mathbb{Q}_p^{{*}2}$ est ouvert dans $\mathbb{Q}_p^{{*}}$: $\mathbb{Z}_p^{*} = \left\{x\in\mathbb{Q}_p:\dfrac{1}{p}<|x|<p\right\}$ est ouvert, donc pour tout $s\in\mathbb{Z}$, $p^{2s}(1+p\mathbb{Z}_p^{*})$ pour $p\neq 2$ ou $2^{2s}(1+8\mathbb{Z}_2^{*})$ pour $p=2$ est ouvert comme l'image d'une transformation affine. On a alors $\mathbb{Q}_p^{{*}2}=\displaystyle\bigcup_{s\in\mathbb{Z}}p^{2s}(1+p\mathbb{Z}_p^{*})$ pour $p\neq 2$ ou $\mathbb{Q}_p^{{*}2}=\displaystyle\bigcup_{s\in\mathbb{Z}}2^{2s}(1+8\mathbb{Z}_2^{*})$ pour $p=2$ est ouvert comme la r\'eunion d'ensembles ouverts.\par
Pour tout $p\in\V$ et $x_0\in\mathbb{Q}^{*}$, $x_0\mathbb{Q}_p^{{*}2}$ est ouvert dans $\mathbb{Q}_p^{*}$ comme l'image d'une transformation lin\'eaire. Donc, . Le corollaire r\'esulte du .
donc $\ord_p(x_0)\equiv 1=\ord_p(x)\pmod 2$ d'apr\`es

On rappelle que$$\bm{\hat{\beta}}-\bm{\beta}\sim\mathcal{N}_p(\bm{0},\sigma^2(\bm{Z}^\mathrm{T}\bm{Z})^{-1})=\mathcal{N}_p(\bm{0},\bm{C}^{-1}(\bm{C}^{-1})^\mathrm{T}),$$donc on a $(\bm{A}(\bm{\hat{\beta}}-\bm{\beta}))^\mathrm{T}(A(\bm{Z}^\mathrm{T}\bm{Z})^{-1}A^\mathrm{T})^{-1}(\bm{A}(\bm{\hat{\beta}}-\bm{\beta}))=

Par Question 19 dans la section précédente, on a$$\mathbb{P}\left(\dfrac{(\hat{\beta}_i-\beta_i)^2(\bm{e}_i(\bm{Z}^\mathrm{T}\bm{Z})^{-1}\bm{e}_i^\mathrm{T})^{-1}}{\hat{\sigma}^2}\in(F_{\frac{\alpha}{2}}(1,n-p),F_{1-\frac{\alpha}{2}}(1,n-p))\right)=1-\alpha.$$