在下近日在研究一些数论相关的问题。其中肯定绕不过一些难题。
比如费马大定理：
X^n+Y^n=Z^n
对于整数X,Y,Z还有n，在n>2的时候无解（没有可以使得等式成立的X，Y，Z，n）

这些数论难题的难度，对于数学爱好者或者相关工作者而言，是不用多说的。
所以，基本上没有人会建议一个普通高中生或者本科生研究这类题目：因为可能要用一辈子也无法解答，毕竟让一个人一辈子就这么“必然失败”，确实很不负责任。
所以我这里提出的问题，显然也不是要任何人来解答这个问题本身。

X^3+Y^3=Z^3 无整数解，这个应该不难，似乎也能在网上找到初等证明。
X^4+Y^4=Z^4的证明我没有找到。
而这么一个个的证明也是无穷无尽的。所以这种“纯体力活”是条死路。
那么，能不能转换一下，换一个题目来考虑：
说X^3+Y^3=Z^3无整数解，那么
X^3+Y^3+Z^3=W^3 （左边3个整数的平方的和）
有没有整数解？
这可能根本就是一个常识，或者早就有人解答了。但是，在网络上输入数学公式还是比较困难，很多公式都是在图片里面，而这类图片的识别率是比较低的（不知道百度或者Google什么时候会在这方面加强一下）。
如果是这样的话，希望有吧友帮我确认一下，到底这种三元的情况有没有正整数解（因为是数论问题，所以这里的整数只考虑正整数）。

然后，再扩展一下（如果上述四元方程有正整数解的话）：
X^4+Y^4+Z^4+W^4=A^4
这种5元，4次的方程有无整数解？
说明：用“正整数”而不是“自然数”是为了避免“0是不是自然数”的问题。因为这个问题总是含糊不清，原因可能是数论中对0的处理和其它分支中对0的处理不同造成的。实际上，就从一个普通的认知角度（不需要数学专业的东西）来看，0到底是不是自然数，也是有问题的：0意味着不存在么？如果是的话，那么不存在又是如何存在的呢？否则怎么能出现关于它的描述呢？

再进一步说，
对于n次，n+1元的此类（各元皆是正整数）方程，是不是都有解？
而对于n次，少于n+1元的此类方程，是不是都无解？
如果这个问题可以确认，那么，后面的问题就好办了。

X=Y
X+Y=Z
2元1次，3元1次都是有解的，自不用说。
X^2+Y^2=Z^2
3元2次，也就是求使得勾股定理成立的正整数是有解的（大家最熟悉的一组是3,4,5）。
X^3+Y^3+Z^3=W^3
有没有解，我暂时不知道，但是可以跑个程序试一下。
稍候。

寻找1000以内的，符合4元3次方程的正整数程序片段（C#）：
注意：此程序片段为尽量表达计算目的，未进行任何优化
const long M = 1000;
for (long x = 1; x <= M; x++)
{
for(long y = 1; y <= M; y++)
{
for(long z = 1; z <= M; z++)
{
for(long w = 1; w <= M; w++)
{
if(x*x*x+y*y*y+z*z*z == w * w * w)
{
Console.WriteLine("{0},{1},{2},{3}",x,y,z,w);
}
}
}
}
}

程序算出来的东西，应该没什么问题。
我只验证了第一个，正确，后面的应当同样正确，因为在10^9不会造成长整数（64位有符号）溢出的前提下，用的是同样的算法。

看来百度不满意太长的数据，换一个短一点的：X数到,2，不排除重复数据。
1,6,8,9
1,8,6,9
1,71,138,144
1,135,138,172
1,138,71,144
1,138,135,172
1,242,720,729
1,372,426,505
1,426,372,505
1,426,486,577
1,486,426,577
1,566,823,904
1,720,242,729
1,823,566,904
2,12,16,18
2,16,12,18
2,17,40,41
2,40,17,41
2,142,276,288
2,270,276,344
2,276,142,288
2,276,270,344
2,514,947,995
2,947,514,995

5元4次，当然也可以这样验证。
那么，我为什么会提这个问题呢？
原因在于，如果这个问题能得到肯定得答案，意思是，真真的证明，而不是用数据去堆砌的验证；
那么，我相信，或者说，有很大的把握确信，从这个基础出发，到费马大定理之间有一条捷径。
那么你可能会问的是，既然怀尔斯已经用高深的方法证明了这个定理，那么为什么还有必要再去证明它？
答案很简单：因为我（假定我）看不懂。实际上他的证明我也没有看到。不过根据已有的信息可以知道他大约是
用了椭圆曲线的相关定理获得了最终结果。
然而，这都是同一个问题：问题在于，用一个更复杂的东西证明一个更基本的东西，即便可行，但你终究不能
像用基本的东西证明复杂的东西那样，明白这件事的究竟。因为反过来，用更复杂的东西证明更基本的东西，
你至多只能确认其存在的合理性，而要获得更多东西，更本质的东西，这个方向本来就是反的。
虽然地球是圆的，你总能一直向着北走而走向南方（过了北极点都是南方），继续走就到达南极；虽然宇宙空间的曲率总是保证你最终会环绕到起点，但是，这要多长时间呢？实际上是太久了，最终由很大的概率会成为一个
不可能完成的任务。
所以说，要研究基本问题，应当首选简单易懂的方法。即便用复杂难懂的方法得到结果，实际上还有很长的路要走。
而如果你开始的时候就选择简单易懂的方法，那么，很可能最开始的时候极其困难，但只要一点突破，其它各点
都会自动突破，那么后面的路就好走了。
虽然也很可能赌上一辈子，但从结果上来说，同样的一辈子，这样做若是成功，则更为值得。

当然这些话不是建议任何人去赌一辈子，而是对于那些对此有所准备的，或者说，已经没有了一辈子的人而言，要赌的话，也赌个大的：什么是大的？费马定理也好，黎曼猜想也好，是大的吗？不是。
它们存在的重要性在于它们所表达的意思，而那个意思才是规律本身。一切研究的本质，都是在寻找规律，寻找本质的规律。这个规律才是大的。若有一天，比如，你证明了黎曼猜想，却说不出黎曼猜想到底要表达什么意思，那么可以说，很遗憾，你并未得到任何真正的东西。
而反过来，若你得到了那个规律，证明黎曼猜想则是必然的。你会清楚的知道你在干什么，你能干什么，你不能干什么，你也能告诉别人，什么是什么，什么事应该怎么办。
而这一点，正是我们的教科书所缺少的东西。
就像我当年学线性代数，一大堆的计算方法（比如上下三角形一类的），一大堆的名词，最后我却不知道那些东西都是干什么用的，从哪来的，是什么意思。那么实际上我就成了做题的机器。显然Mathmatica或者MATLAB做这件事要比我强多了，那么要我何用？